Construction du champ χ
Le champ $\chi$ n'est pas un champ scalaire ordinaire, mais une 1-forme à valeurs dans l'algèbre de Lie $\mathfrak{su}(2)$. Ce chapitre construit explicitement son lagrangien, son équation du mouvement, et caractérise l'espace de ses solutions classiques (variété des connexions plates modulo jauge).
1. Fibré et géométrie
Soit $M^3$ une 3-variété orientée. On considère le fibré principal trivial $P = M^3 \times \mathrm{SU}(2)$ de groupe $G = \mathrm{SU}(2)$. Le champ $\chi$ est une connexion sur $P$, c'est-à-dire localement une 1-forme :
$$ \chi = \chi^a_\mu(x)\, T^a\, dx^\mu, \qquad T^a = \tfrac{i}{2}\sigma^a, \quad a = 1,2,3 $$où $\sigma^a$ sont les matrices de Pauli. La courbure associée est :
$$ F = d\chi + \chi \wedge \chi, \qquad F^a_{\mu\nu} = \partial_\mu \chi^a_\nu - \partial_\nu \chi^a_\mu + \varepsilon^{abc}\, \chi^b_\mu\, \chi^c_\nu $$2. Action de Chern–Simons
L'action fondamentale du champ $\chi$ est l'action de Chern–Simons à niveau entier $k$ :
$$ S_{CS}[\chi] = \frac{k}{4\pi} \int_{M^3} \mathrm{Tr}\!\left(\chi \wedge d\chi + \tfrac{2}{3}\, \chi \wedge \chi \wedge \chi\right) $$En composantes :
$$ S_{CS} = \frac{k}{8\pi} \int_{M^3} \varepsilon^{\mu\nu\rho}\!\left(\chi^a_\mu \partial_\nu \chi^a_\rho + \tfrac{1}{3}\, \varepsilon^{abc}\, \chi^a_\mu \chi^b_\nu \chi^c_\rho\right) d^3x $$Pourquoi Chern–Simons ?
- Topologique : indépendant de toute métrique sur $M^3$. La gravité émergera après (P17), pas en amont.
- Renormalisable : action quadratique + cubique, sans dérivée d'ordre $\geq 2$.
- Solitons = nœuds : les configurations classiques non triviales sont indexées par les nœuds de $M^3$.
- Quantification entière : sous les grandes transformations de jauge, $S_{CS} \to S_{CS} + 2\pi k\, n$ pour $n \in \mathbb{Z}$, donc $e^{iS_{CS}}$ est bien défini ssi $k \in \mathbb{Z}$.
La fonction de partition de la théorie de Chern–Simons SU(2) au niveau $k$ sur $S^3$ avec une boucle de Wilson le long d'un nœud $K$ vaut exactement le polynôme de Jones évalué en $t = e^{2\pi i/(k+2)}$ :
$$ \langle W_K \rangle_{S^3} = V_K(e^{2\pi i/(k+2)}) $$Cette formule est le pivot de toute la TQNT : elle donne un sens physique au polynôme de Jones comme amplitude quantique.
3. Équations du mouvement
La variation de $S_{CS}$ par rapport à $\chi$ donne :
$$ \frac{\delta S_{CS}}{\delta \chi^a_\mu} = \frac{k}{4\pi}\, \varepsilon^{\mu\nu\rho}\, F^a_{\nu\rho} = 0 \;\Longleftrightarrow\; F = 0 $$Les solutions classiques sont exactement les connexions plates ($F = 0$). C'est une contrainte algébrique, pas une équation d'évolution — le champ $\chi$ est topologique au sens où sa dynamique classique se réduit à une condition d'intégrabilité.
4. Variété des caractères
L'espace des connexions plates modulo jauge est en bijection avec l'espace des représentations du groupe fondamental :
$$ \mathcal{M}_\flat(M^3) \;\simeq\; \mathrm{Hom}(\pi_1(M^3), \mathrm{SU}(2)) \,/\, \mathrm{SU}(2) $$appelé variété des caractères $X(M^3)$.
Cas d'un complément de nœud
Pour un complément de nœud $M = S^3 \setminus K$, le groupe fondamental $\pi_1(S^3 \setminus K)$ est le groupe du nœud. Sa variété des caractères $X(S^3 \setminus K)$ est une variété algébrique de dimension $\geq 1$, et son polynôme caractéristique est précisément l'A-polynôme de $K$ (voir Chapitre 3).
5. Quantification
On quantifie la théorie sur $\Sigma \times \mathbb{R}$ avec $\Sigma$ une surface de Riemann. L'espace de Hilbert physique $\mathcal{H}_\Sigma$ est de dimension finie :
$$ \dim \mathcal{H}_\Sigma = N_{g,k} = \left(\frac{k+2}{2}\right)^{g-1} \sum_{j=0}^{k/2} \left(\sin\frac{(2j+1)\pi}{k+2}\right)^{2-2g} $$avec $g$ le genre de $\Sigma$. Pour $\Sigma = S^2$ (genre 0), c'est l'espace des blocs conformes de l'algèbre affine $\widehat{\mathfrak{su}}(2)_k$.
Pour un nœud orienté $K \subset S^3$ : les boucles de Wilson
$$ W_R[K, \chi] = \mathrm{Tr}_R\, \mathcal{P} \exp\!\oint_K \chi $$où $R$ est une représentation irréductible de SU(2) (spin $j$, dimension $2j+1$). Pour $j = 1/2$, l'espérance fournit le polynôme de Jones ; pour $j$ générique, on obtient le polynôme de Jones coloré $J_n(K, q)$ avec $n = 2j$.
6. Niveau $k = 135$ et structure fine
L'identification clé de la TQNT est :
$$ \alpha_{EM} = \frac{1}{k+2} $$Avec $\alpha_{EM} = 1/137{,}035999$, on obtient $k+2 = 137{,}036$. Comme $k$ doit être entier, $k = 135$ est l'unique valeur compatible — la fraction $0{,}036$ est interprétée comme une correction de boucle (voir Ch. 4) :
$$ k_{\mathrm{eff}}(\mu) = k + \Delta k_{\mathrm{1-loop}}(\mu), \quad \Delta k \sim O(\alpha_{EM}) $$7. De Chern–Simons à la mécanique quantique
La construction se déroule en cinq étapes (justifiées au Ch. 3) :
- Choisir $K \subset S^3$ — l'identifier à une particule via P4.
- Calculer le polynôme de Jones coloré $J_n(K, q)$ avec $q = e^{2\pi i/(k+2)}$.
- Extraire l'A-polynôme $A_K(\ell, m)$ comme classe de quantification de $J_n$ dans la limite $n \to \infty$.
- Promouvoir $(\ell, m)$ en opérateurs $\hat{L}, \hat{M}$ avec $\hat{M}\hat{L} = q\, \hat{L}\hat{M}$.
- Définir l'opérateur AJ $\hat{A}_K(\hat{L}, \hat{M}; q)$ et écrire $\hat{A}_K\, \Psi = 0$ — équation de Schrödinger émergente.
La quantification de l'A-polynôme produit un opérateur différentiel sur l'espace des représentations de $\pi_1(S^3 \setminus K)$ — qui agit comme une équation de Schrödinger sur la fonction d'onde de la particule associée. Toute la mécanique quantique de la TQNT vient de cette procédure.
8. Couplage à la matière (charge, courant)
Pour introduire une charge $Q$, on ajoute à l'action un terme de couplage minimal :
$$ S_{\mathrm{matière}} = \int_{M^3} J^\mu_K\, A^{EM}_\mu\, d^3x $$avec $J^\mu_K$ la densité de courant topologique (P5) du nœud $K$ et $A^{EM}$ la connexion électromagnétique U(1) usuelle. Le couplage est topologique au sens où $J^\mu_K$ est automatiquement conservée par fermeture du nœud.
9. Limite continue et émergence des champs classiques
Dans la limite hydrodynamique (longueurs grandes devant $\lambda_C$), la densité d'amplitude $|\Psi|^2$ d'un ensemble de boucles de Wilson satisfait une équation continue :
$$ \partial_t |\Psi|^2 + \nabla \cdot \vec{j} = 0, \quad \vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla\Psi - \Psi\nabla\Psi^*) $$— c'est l'équation de continuité quantique standard, retrouvée à partir d'une théorie purement topologique. La masse $m$ apparaît comme une échelle dynamique reliée à la circulation moyenne autour de $K$.
10. Régularisation et discrétisation
Pour les calculs numériques, le code theory/chern_simons.py utilise :
- q-déformation : $q = e^{2\pi i/(k+2)}$, q-entiers $[n]_q = (q^{n/2}-q^{-n/2})/(q^{1/2}-q^{-1/2})$
- Représentation variétale : SL(2,$\mathbb{C}$) au lieu de SU(2) pour avoir une variété algébrique
- Mesh adaptative : raffinement local autour du tube tubulaire $N_\epsilon(K)$
QCM de fin de chapitre
Quatre questions sur la construction du champ χ.
1. Que sont les solutions classiques de l'action de Chern–Simons ?
2. Pourquoi le niveau $k$ de Chern–Simons doit-il être entier ?
3. Quelle est la fonction de partition de Chern–Simons SU(2) niveau $k$ sur $S^3$ avec une boucle de Wilson le long de $K$ ?
4. Quelle propriété fait du champ $\chi$ un candidat naturel à la mécanique quantique sans introduire d'espace-temps fondamental ?